数学必修4平面向量复习
一、基本概念：基本概念：1、向量向量：既有大小大小又有方向方向的量叫向量．向量大小方向
ruurra2、单位向量单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量a0±r单位向量a
3平行向量：若非零向量ab方向相同或相反，则ab；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：ab模相等，方向相同；相反向量：ab模相等，方向相反5、两个非零向量a、b的夹角两个非零向量的夹角：做OAa；OBb；∠AOB叫做a与b的夹角。6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若axiyj，则xy叫做
rr
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrrra的坐标。7向量a在b方向上的投影：设θ为a、b的夹角，则acosθ为a在b方向上向量
的投影二、基本运算：基本运算：基本运算运算向量形式1平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。2三角形加法法则：首尾相连记：坐标形式：ax1y1；bx2y2
r
r
加法
rrabx1x2y1y2
uuuuuuuuurrrABBCAC
减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：OAOBBA
uuuuuurr
uuur
rrabx1x2y1y2
ABACCB
数乘
rrλa是一个向量，λaλa
方向：λ0时，与a同向；λ0时，与
λaλx1λy1
r
a反向；λ0时，λa0
数量积
rrababcosθ
rrabx1x2y1y2
三、基本定理、公式：基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对
r
r
r
f实数λ1、λ2；使得a
r
λ1e1λ2e2。
aa＝
2、向量的模：a＝
r
rrx2y2；非零向量a与b的夹角：
cosθ
abab

x1x2y1y2x1y1
22
x2y2
2
2
3、向量平行：a∥baλbx1y2x2y1；向量垂直：a⊥
r
r
r
rbab0x1x2y1y20
四、基础训练
（1）已知
ra2b3，且ab4，则向量b在向量a上的投影为

r
（2）已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y_________rrrrrrrrr（3）非零向量a和b满足：abab，则a与ab的夹角等于五、典例讲解讲解
例1已知ABa12，BCb32，CD64（1）证明：ABD三点共线（2）k为何值时，①向量kab与a3b平行②向量kab与a3b垂直
uuur
r
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r
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rr
r
r
rr
r
r
uuuruuuruuuruuuruuur动点，1）求QAQB取最小值时，r