：即从陈述B推出陈述A然后又从陈述A推出陈述B，这是不可饶恕的。公理化方法作为一种思想方法有着相当重要的教育价值，在数学的许多邻域都渗透了这种思想，学生在学习立体几何之初，一开始并不能领会为什么要有三条公理，假如解释是不需证明显而易见的事实，那么你很快就会在他们的证明过程中看到他们凭自己想象建立的许多“显而易见”的“公理”或“定理”，而且循环论证的错误也一再出现。当然《原本》丰富的内容作为第二课堂知识也足以使学生受益匪浅。爱因斯坦在1946年撰写《自述》时，也没忘记他12岁初学欧几里得几何的惊奇，可见这件事在他一身中的地位。四、妙用数学史，启迪学生思维的创新性数学史的发展过程也是知识的发展过程。如果在上课过程中能够重现或亲历发现过程，那么对学生的帮助会否更大？抱着想法，我作了一些尝试。高中阶段，数的概念扩展是迅速的，一般的上课模式容易让学生满足于已有的量度
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f关系，而少有学生会发散出去想象比如实数的外面应是什么数，从而使学生缺少创造性。仅拿无理数的发现过程来说，相信会对学生有很好的启发。对于边长为单位长正方形的对角线不能用有理数来表示，则只要证明2是无理数就行了。（引理：对于一个正整数S，S是偶数当且仅当S是偶数）反证法：假定2是有理数，即2ab（a，b是互素的整数）∴ab2即a2b∵a2是一个整数的2倍，可知a2从而a必定是偶数，令a2c∴式变为4c22b，即2c2b2可知b2从而b必定是偶数这与a，b互素矛盾∴2为无理数无理数的发现在数学史上给古希腊的毕达哥拉斯学派以无比震惊，而重现这样一个发现过程后，也使一些认真的学生开始重新审视并整理自己的数学知识体系。不可否认，重现或亲历发现过程花的时间可能会多一点，但以此培养出来的学生比其他学生具有更强的数学理性思维，而且有提出尖锐问题的积极性与能力。五、数学教学与学生的数学学习是一个相互补充的过程如果当你只感觉到自己只是不断把知识输送给学生，而从来没有从学生那里取得对知识点处理的不同意见或是想法，你的教学也许是一种失败。数学史中有很多对问题的巧妙处理方法，有一些现在我们是把它作为常规思路，可有一些看似技巧性太强，要不要给学生讲述，或是讲述多少，曾让我犹豫不决。有时即使不讲，也会从学生中得到许多意外的解法，该如何去正确处理呢？例如，在数列知识中讲述已知递推公式求通项公式的时候，一些学生对常规解题思路较难掌握。例：在数列a
中，r