新课标全国卷曲线y＝x3l
x＋1在点11处的切线方程为____________________．2若函数fx＝excosx，则此函数图象在点1，f1处的切线的倾斜角为A．0B．锐角C．直角D．钝角．
3解析1∵y＝x3l
x＋1，∴y′＝3l
x＋1＋xx＝3l
x＋4，∴k＝y′x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4x－1，即4x－y－3＝02f′x＝excosx－exsi
x＝excosx－si
x，∴f′1＝ecos1－si
1．ππ∵214而由正余弦函数性质可得cos1si
1∴f′10，即fx在1，f1处的切线的斜率k0，∴切线的倾斜角是钝角．答案14x－y－3＝02D导数运算与导数几何意义的应用
考点三
l
x【例3】2013北京卷设l为曲线C：y＝x在点10处的切线．1求l的方程；2试证明：除切点10之外，曲线C在直线l的下方．审题路线1求f′1导数几何意义——→点斜式求直线l的方程
转化运用导数2构建gx＝x－1－fx——→gx0对x0且x≠1恒成立——→研究函数y＝gx的性质—→获得结论
f1－l
xl
x解1设fx＝x，则f′x＝x2∴f′1＝1－l
11＝1，即切线l的斜率k＝1
由l过点10，得l的方程为y＝x－12令gx＝x－1－fx，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于gx0x0，x≠1．gx满足g1＝0，且g′x＝1－f′x＝当0x1时，x2－10，l
x0，∴g′x0，故gx在01上单调递减；当x1时，x2－10，l
x0，g′x0，gx单调递增．所以，gxg1＝0x0，x≠1．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．规律方法1准确求切线l的方程是本题求解的关键；第2题将曲线与切线l的位置关系转化为函数gx＝x－1－fx在区间0，＋∞上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．2当曲线y＝fx在点Px0，fx0处的切线平行于y轴此时导数不存在时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解学生用书第38页1【训练3】2014济南质检设函数fx＝aex＋aex＋b0a1．1求fx在0，＋∞内的最小值；32设曲线y＝fx在点2，f2处的切线方程为y＝2x，求a和b的值．1ae－1ae＋1解1f′x＝aex－aex＝aex1令f′x＝0，得x＝l
a01当0≤xl
a时，f′x0；1当xl
a，f′x0
xx
x2－1＋l
xx2
f∴fx在0，l

11l
a，＋∞上递增．上递减，在a1＝2＋ba
从而fx在0，＋∞上的最小值fl

32∵y＝fx在点2，f2处的切线为y＝2x，3∴f2＝3，且f′2＝2，12ae＋ae2＋b＝3∴132r