和△EBD中
BDCD∠1∠2
B
2
1D
C
ADED
E
∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB＋BE＞AE
∴AB＋AC＞2AD
规律24截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等
这两种方法统称截长补短法
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：
①a＞b
②a±bc
③a±bc±d
例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1∠2，P为AD上任一点，
求证：AB－AC＞PB－PC
证明：⑴截长法：在AB上截取ANAC，连结PN
在△APN和△APC中，
ANAC∠1∠2
APAP∴△APN≌△APC∴PCPN
A
12
NP
B
D
C
∵△BPN中有PB－PC＜BN
∴PB－PC＜AB－AC
⑵补短法：延长AC至M，使AMAB，连结PM
在△ABP和△AMP中
ABAM
B
∠1∠2
APAP
A
12
P
D
C
M
6
f徐明宇
∴△ABP≌△AMP
∴PBPM
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC
∴AB－AC＞PB－PC
练习：1已知，在△ABC中，∠B60oAD、CE是△ABC的角平分线并且它们交于点O
求证：ACAE＋CD
2已知，如图，AB∥CD∠1∠2∠3∠4求证：BCAB＋CD
DE
A
规律25证明两条线段相等的步骤：
1
4
2
3
B
C
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角
形全等
③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形
例如图，已知，BE、CD相交于F，∠B∠C，∠1∠2，求证：DFEF
证明：∵∠ADF∠B＋∠3
∠AEF∠C＋∠4
又∵∠3∠4
∠B∠C
∴∠ADF∠AEF
在△ADF和△AEF中
A
∠ADF∠AEF
∠1∠2
AFAF∴△ADF≌△AEF∴DFEF
D
E
12
34
F
B
C
规律26在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等
例：已知，如图Rt△ABC中，ABAC，∠BAC90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，
CE⊥AN于E，求证：DEBD－CE
证明：∵∠BAC90oBD⊥AN
∴∠1＋∠290o∠1＋∠390o
∴∠2∠3
∵BD⊥ANCE⊥AN
∴∠BDA∠AEC90o
在△ABD和△CAE中，
∠BDA∠AEC∠2∠3
ABAC∴△ABD≌△CAE∴BDAE且ADCE
3
B
A
12
D
CE
N
∴AE－ADBD－CE
∴DEBD－CE
规律27三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等
例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E
7
f徐明宇
求证：BECF证明：（略）
A
F
B
2
1D
C
E
规律28条件不足时延长已知边构造三角形
例：已知ACBD，AD⊥AC于A，BCBD于B
求证：ADBC
证明：分别延长DA、CB交于点E
∵AD⊥ACBC⊥BD
∴∠CAE∠DBE90o
r