绝对
值）的一半
例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC
求证：∠EAD1∠C－∠B
2
证明：∵AE平分∠BAC
A
∴∠BAE∠CAE1∠BAC2
∵∠BAC180o－∠B＋∠C
B
EDC
∴∠EAC1〔180o－∠B＋∠C〕2
∵AD⊥BC
∴∠DAC90o－∠C
∵∠EAD∠EAC－∠DAC
∴∠EAD1〔180o－∠B＋∠C〕－90o－∠C2
90o－1∠B＋∠C－90o＋∠C2
1∠C－∠B2
AA
F
B
DE
C
B
ED
C
F
如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD1∠C－∠B2
4
f徐明宇
注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌
握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力
规律20在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，
可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处
在内角的位置上，再利用外角定理证题
例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC
证法（一）：延长BD交AC于E，
∵∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC
A
A
同理：∠DEC＞∠BAC
∴∠BDC＞∠BAC
B
证法（二）：连结AD，并延长交BC于F
D
E
CB
D
F
C
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF＞∠BAD
同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC
规律21有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形
例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1∠2，∠3∠4，
求证：BE＋CF＞EF
证明：在DA上截取DNDB，连结NE、NF，则DNDC
在△BDE和△NDE中，
DNDB
∠1∠2
EDED∴△BDE≌△NDE∴BENE同理可证：CFNF
A
N
E
F
23
B
1
4
D
C
在△EFN中，EN＋FN＞EF
∴BE＋CF＞EF规律22有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形
例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1∠2，∠3∠4，求证：BE＋CF＞EF
证明：延长ED到M，使DMDE，连结CM、FM
△BDE和△CDM中，
BDCD
∠1∠5
EDMD
∴△BDE≌△CDM
∴CMBE
又∵∠1∠2，∠3∠4
∠1＋∠2＋∠3＋∠4180o
∴∠3＋∠290o
即∠EDF90o
∴∠FDM∠EDF90o
A
5
E
F
23
B
1
4
D5
C
M
f徐明宇
△EDF和△MDF中
EDMD
∠FDM∠EDF
DFDF
∴△EDF≌△MDF
∴EFMF
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF
BE＋CF＞EF
（此题也可加倍FD，证法同上）
规律23在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形
例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
证明：延长AD至E，使DEAD，连结BE
∵AD为△ABC的中线
∴BDCD
A
在△ACDr