律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边
构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式
性质证题
例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE①
在△BDM中，MB＋MD＞BD
②
在△CEN中，CN＋NE＞CE
③
①＋②＋③得
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于GA在△ABF和△GFC和△GDE中有，
①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE
MB
GFD
EN
C
∴①＋②＋③有
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的
量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题
练习：已知：如图P为△ABC内任一点，
求证：1AB＋BC＋AC＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC2
规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半
例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长
线交于D
求证：∠A2∠D
证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线
∴∠ACE2∠1∠ABC2∠2∵∠A∠ACE－∠ABC
A
D
∴∠A2∠1－2∠2又∵∠D∠1－∠2
2
B
1CE
∴∠A2∠D
规律17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半
例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC90o＋1∠A2
证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠A＋2∠1＋2∠2180o
∴2∠1＋∠2180o－∠A①
∵∠BDC180o－∠1＋∠2
A
∴∠1＋∠2180o－∠BDC②把②式代入①式得2180o－∠BDC180o－∠A
D
1
B
2C
3
f徐明宇
即：360o－2∠BDC180o－∠A
∴2∠BDC180o＋∠A
∴∠BDC90o＋1∠A2
规律18三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半
例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC90o－1∠A2
证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB
∴∠EBC2∠1、∠FCB2∠2
∴2∠1∠A＋∠ACB①
2∠2∠A＋∠ABC②
①＋②得
2（∠1＋∠2）∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A
2（∠1＋∠2）180o＋∠A
∴（∠1＋∠2）90o＋1∠A
2
A
∵∠BDC180o－∠1＋∠2
∴∠BDC180o－90o＋1∠A2
∴∠BDC90o－1∠A2
B1
2
C
E
F
D
规律19从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的r