焦点F1、F2，由双曲线第二定义得｜MF1｜＝ex1＋a，｜MF2｜＝ex1－a，由已知2（ex1＋a）＝3（ex1－a），
把
e
54
，a4
代入，得
x1＝16，y1＝±3
15
∴点M的坐标为（16，±315）
双曲线准线方程为x±a2±16c5
f∴M（16，±315）到准线的距离为124或191．
5
5
探究创新
9（2003年春季上海）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个
点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM
与
kPN
之积是与点
P
位置无关的定值试对双曲线
C′：
xa
22
－y2b2
1写出具有类似特性的性
质，并加以证明
解：类似的性质为若MN是双曲线x2－y21上关于原点对称的两个点，点P是双曲a2b2
线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值
设点
M
的坐标为（m，
），则点
N
的坐标为（－m，－
），其中
m2a2
－
2b2
1
又设点P的坐标为（x，y），
由
kPM
y
xm
，kPN
y
xm
，得
kPMkPN
y
xm

y
xm

y2x2

2m2
，
将y2b2a2
x2－b2，
2b2a2
m2－b2，代入得
kPMkPN
b2a2

评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求
●思悟小结本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用解决本节问题应注意以下几点：1由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；（2）已知渐近线的方程bx±ay0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上2由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错3解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量●教师下载中心教学点睛本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想为此建议在教学中注意以下几点：1双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c易见c2r