a2b2，
f若记∠AOBθ，则ec1acos
2双曲线的定义用代数式表示为MF1－MF22a，其中2a＜F1F2，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值（2）2a＜F1F2，这两点与椭圆的定义有本质的不同当MF1－MF22a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当MF1－MF2－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2aF1F2时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞F1F2时，动点轨迹不存在3参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2a2b2；在方程Ax2By2C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程4在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了5给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线但已知渐近线方程，只是限制了双曲
线张口的大小，不能直接写出双曲线方程但若已知渐近线方程是x±y0，则可把双曲线ab
方程表示为x2－y2λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程a2b2
拓展题例
【例1】已知双曲线x2－y21的离心率e1a2b2
2，左、右焦点分别为F1、F2，左
准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得PF1是P到l的距离d与PF2的等比中项解：设在左支上存在P点，使PF12PF2d，由双曲线的第二定义知

PF1d



PF2PF1

e，即PF2ePF1
①
再由双曲线的第一定义，得PF2－PF12a
②
由①②，解得PF1
2ae1
，PF2
2aee1
，
∵PF1PF2≥F1F2，
∴2a2ae≥2c
③
e1e1
利用ec，由③得e2－2e－1≤0，a
解得1－2≤e≤12
f∵e1，∴1e≤12与已知e12矛盾
∴在双曲线的左支上找不到点P，使得PF1是P到l的距离d与PF2的等比中项【例2】设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为5，且点P（0，5）到
2此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程
分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为y2－x21a2b2
由离心率为5，可得a2b2（5a）2c2
2
2
由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值
问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式从而求出a2、b2，本题得解
解：依题意，设双曲线的方程为y2a2
－x2b2
1（a0，b0）
∵ec5，c2a2b2，∴a24b2a2
设M（x，y）为双曲线上任一点，则PM2x2（y－5）2
b2（y2－1）（y－5）25（y－4）25－b2（yr