APBA，λCPCBAPBAarg，CPCBuuuruuuruuuruuur向量PC旋转到PA所成的角等于BC旋转到AB所成的角，
所以
arg
从而PABC四点共圆．（2）式取等号的条件显然为BPD共线且P在BD上．故当fP达最小值时P点在ABC之外接圆上，PABC四点共圆．（Ⅱ）由（Ⅰ）知fPmi
BDAC．以下同解法一．…20分
二、（本题满分50分）设fx是周期函数，T和1是fx的周期且0T1．证明：（Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使
1是fx的周期；p
（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列a
满足1a
a
10

12，且每个a

12都是fx的周期．
且m
1，从而存在整数ab，m
证（Ⅰ）若T是有理数，则存在正整数m
使得T使得
ma
b1．
于是
1ma
babTa1bTmm
是fx的周期．又因0T1，从而m≥2．设p是m的素因子，则mpm′，m′∈N，从而…10分
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准第4页（共6页）
f11m′pm
是fx的周期．（Ⅱ）若T是无理数，令…20分
1a11T，T
则0a11，且a1是无理数，令
1a21a1，a1
……
1a
11a
，a
……．由数学归纳法易知a
均为无理数且0a
1．又…30分
1111，故1a
a
，a
a
a
…40分
即a
11
1a
a
．因此a
是递减数列．a

1最后证：每个a
是fx的周期．事实上，1和T是fx的周期，a11T亦因故T
是fx的周期．假设ak是fx的周期，则ak111ak也是fx的周期．由数学归ak
纳法，已证得a
均是fx的周期．…50分
三、（本题满分50分）设ak0，k12L2008．证明：当且仅当∑ak1时，存在数列x
满足以下条件：
k1
2008
（）0x0x
x
1，
123L；（）limx
存在；
→∞
（）x
x
1∑akx
k∑ak1x
k，
123L．
k1k0
2008
2007
证必要性：假设存在x
满足（）（）（iii），，．注意到（）中式子可化为
x
x
1∑akx
kx
k1，
∈N，2008
k1
其中x00．
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准第5页（共6页）
f将上式从第1项加到第
项，并注意到r