ABC之三内角分别为
x，y，z
，则
∠AP0C180°yzx，又因B1C1⊥P0A，
B1A1⊥P0C，得∠B1y，同理有∠A1x，∠C1z，
所以A1B1C1∽ABC．…10分
答一图2
设B1C1λBC，C1A1λCA，A1B1λAB，则对平面上任意点M，有
λfP0λP0ABCP0DCAP0CAB
P0AB1C1P0DC1A1P0CA1B1
2SA1B1C1≤MAB1C1MDC1A1MCA1B1
λMABCMDCAMCABλfM，
从而
fP0≤fM．
由M点的任意性，知P0点是使fP达最小值的点．由点P0在O上，故P0ABC四点共圆．（Ⅱ）由（Ⅰ）fP的最小值，…20分
fP0
2
λ
SA1B1C1
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准第2页（共6页）
f2λSABC，
记∠ECBα，则∠ECA2α，由正弦定理有即33si
α4si
3α4si
αcosα，所以
AEsi
2α3，从而3si
3α2si
2α，ABsi
3α2
33431cos2α4cosα0，
整理得43cos2α4cosα30，解得cosα…30分
31（舍去）或cosα，223
故α30o，∠ACE60o．
si
∠EAC30BC由已知31si
∠EACEC

0
有si
∠EAC30
o
31si
∠EAC，即
31231si
∠EACcos∠EAC31si
∠EAC，整理得si
∠EACcos∠EAC，2222
故ta
∠EAC
1o23，可得∠EAC75，23
…40分
所以∠E45°，ABC为等腰直角三角形，AC2，SABC1，因为∠AB1C45°，B1点在O上，∠AB1B90°，所以B1BDC1为矩形，B1C1BD12212cos135°5，故λ
55，所以fPmi
2110．22
（Ⅰ）引进复平面，仍用ABC等代表ABC所对应的复数．
…50分
解法三
由三角形不等式，对于复数z1z2，有
z1z2≥z1z2，
当且仅当z1与z2（复向量）同向时取等号．有所以
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuurrrrrrrrPABCPCAB≥PABCPCAB，
APCBCPBA≥APCBCPBAPCABCBPAuuuuuurrBPCAPBAC，
（1）
从而
uuuuuuuuuuuuuuuuuurrrrrrPABCPCABPDCAuuuuuuruuuuuurrr≥PBACPDAC
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准第3页（共6页）
fuuuuuuuuurrrPBPDACuuuuuurr≥BDAC．
（1）式取等号的条件是复数APCB与CPBA同向，故存在实数λ0，使得（2）…10分
APCBλCPBA，
r