二次函数中的动点相似三角形
专题：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程。例题1、如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
yAOBx
O
yABx
图1
例1题图
图2
例题、解⑴由题意可设抛物线的解析式为yax221∵抛物线过原点，∴0a0221∴a
141414
抛物线的解析式为yx221即yx2x
yAOBx
⑵如图1当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时CD∥OB＝由0x221得x10x24
14
C
图1
D
f∴B40OB＝4∴D点的横坐标为6将x＝6代入yx221得y＝－3∴D6－3根据抛物线的对称性可知在对称轴的左侧抛物线上存在点D使得四边形ODCB是平行四边形此时D点的坐标为－2－3当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时D点即为A点此时D点的坐标为21⑶如图2，由抛物线的对称性可知AO＝AB∠AOB＝∠ABO若△BOP与△AOB相似必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点显然A′2－1∴直线OP的解析式为y由
yAOABEx
14
1x2
11xx2x24
得x10x26∴P6－3过P作PE⊥x轴在Rt△BEP中BE＝2PE＝3∴PB＝13≠4∴PB≠OB∴∠BOP≠∠BPO∴△PBO与△BAO不相似同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点所以在该抛物线上不存在点P使得△BOP与△AOB相似
图2
P
例题2、在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF连接AF并延长交x轴的正半轴于点Br