中考压轴题精选典型例题讲解二次函数因动点产生的相似三角形问题
【例1】如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A13．因为抛物线与x轴交于O、B20两点，设y＝axx－2，代入点A13，可得
a3．
图2
3
所以抛物线的表达式为y3xx23x223x．
3
3
3
（2）由y3x223x3x123，
3
3
3
3
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得抛物线的顶点M的坐标为13．所以ta
BOM3．
3
3
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A13、B20、M13，3
得ta
ABO3，AB23，OM23．
3
3
所以∠ABO＝30°，OA3．OM
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当BAOA3时，BCBA232．此时C40．
BCOM
33
②如图4，当BCOA3时，BC3BA3236．此时C80．BAOM
图3
图4
考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角
形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为－40．
图5
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【例2】如图1，已知抛物线y1x21b1xb（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B
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（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直
角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均
相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标r