积公式即可12．【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC120°，A1A4，C1C1，ABBCB1B2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】分析方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解
再根据线面垂直的判定定
方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解的一个法向量，
详解：方法一：
（Ⅱ）如图，过点作
，交直线
于点，连结

f由所以
平面是
得平面与平面
平面所成的角由
，由
得
平面得
，
，所以
，故

因此，直线方法二：
与平面
所成的角的正弦值是

（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz
由题意知各点坐标如下：因此由得所以平面由得
f点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”13．【2018年天津卷文】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD90°．
【答案】Ⅰ证明见解析；Ⅱ
；Ⅲ
．
详解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABDAB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补
f角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM1，故DMABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN1，故DN
．因为AD⊥平面
．在等腰三角形DMN中，MN1，可
得
．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为
．
（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM平面ABD，而CM
．又因为平面ABC⊥
平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．4．在Rt△CMD中，．所以，直线CD与平面ABD所
在Rt△CAD中，CD成角的正弦值为．
点睛：本小题主要考查异面直线r