《222椭圆的几何性质》教学案
教学目标
1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴．2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质
教学重难点
椭圆的几何性质范围、对称性、顶点
教学流程
一、问题情境
1．情境：
复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a，b，c的关系．
2．问题：在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪
些几何性质呢？
二、学生活动
1探究椭圆的几何性质．阅读课本第34页至第35页例1上方，回答下列问题：
问题1
椭圆的范围是指椭圆的标准方程
x2a2
y2b2
1ab0中x，y的范围，可以用
哪些方法推导？
问题2借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？问题3椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？三、建构数学
1．范围．
由方程x2a2

y2b2

1
可知，椭圆上点的坐标都适合不等式
x2a2

1

y2b2
1，
即x2a2，所以xa，同理可得yb．
这说明椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形内．
2．对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称．
从方程x2a2

y2b2
1上看：
1把x换成x方程不变，说明当点Pxy在椭圆上时，点P关于y轴的对称点
fPxy也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y轴对称；
2把y换成y方程不变，所以椭圆的图象关于y轴对称；3把x换成x，同时把y换成y方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称．
综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中
心．
3．顶点：
在方程x2a2

y2b2
1中，令x

0，得y

b，说明点B10b，B20b是椭圆与y
轴的两个交点．同理A1a0，A2a0是椭圆与x轴的两个交点．
1顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；
2长轴、短轴：线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
3a，b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长．
四、数学运用
1．例题：
例1求椭圆x2y21的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭259
圆．
例2求符合下列条件的椭圆标准方程焦点在x轴上：
1焦点与长轴较接近的端点的距离为105，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．
2已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P3，0，求椭圆的方程．2．练习．1根据前面所学有关知识画出下列图形
①x2r