b的和是3的倍数
综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数
分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏
例4已知：p≥5，且p和2p1都是质数
求证：4p1是合数
证明：把整数按模3分类即把整数分为3k3k13k2k为整数三类讨论
∵p是质数，∴不能是3的倍数，即p≠3k；
当p3k1时2p123k1132k1∴2p1不是质数，即p≠3k1；
只有当质数p3k2时，2p123k216k5
∴2p1也是质数，符合题设
这时，4p143k2134k3是合数证毕
练习：47已知：整数a不能被2和3整除求证：a223能被24整除
48求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6
49若正整数a不是5的倍数则a83a4－4能被100整除
50已知：自然数
2求证：2
－1和2
1中，如果有一个是质数，则另一个必是
f合数51设abc是三个互不相等的正整数，求证a3b－ab3b3c－bc3c3a－ca3三个数中，至少有一个能被10整除
七整数解
1
二元一次方程
axbyc
的整数解：当
ab
互质时，若有一个整数的特解

xy

x0y0
那么
可写出它的通解
xy

x0y0
bkak
k为整数
2运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数整数，整数×整数整数，
整数÷这整数的约数整数，整数自然数整数
3一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解4根据已知条件讨论整数解例1小军和小红的生日都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日解：设小军和小红的生日分别为xy，根据题意，得
yx7k

y

x

34
k1234
k13时，x没有整数解；
2x34－7k
x17－7k2
当k2时，
x10，

y

24
当
k4
时，
x

y

3y，
10
31
月份没有
31
日，舍去
∴小军的生日在10月10日
例2如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条
件的所有三位数
解：设三位数为100a10bcabc都是整数，0a≤9，0≤bc≤9
那么100a10bc9ababc，且－8a－bc18
11
11
要使a－bc被11整除，其值只能是0和11
1当a－bc0时，得9aba2b2c2
以bac代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a22c－5a2c2－c0
根据韦达定理
a1

a1a2
a2
c2
5c，c
2
这是必要而非充分条件
∵5－c0以c01234逐一讨论a的解
f当c24时，无实数根；当c13时，无整数解；只有当c0时，a5；或a0a0不合题意，舍去∴只有c0a5b5适合∴所求的三位数是550；2当a－bc11时，得9ab1a2r