y取什么整数值，方程两边都不能相等所以原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性
练习：37设
为整数，试判定
2－
1是奇数或偶数38100110021003……1989其和是偶数或奇数，为什么？39有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由40求证：方程x21989x98910没有整数根
41
已知：
x1x1

x2x2
x3x
0；x3x

求证：

是
4
的倍数
11
42若
是大于1的整数，p
2－12试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有
可能
六按余数分类
1整数被正整数m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类如：模m2，可把整数分为2类2k2k1k为整数，下同
模m3，可把整数分为3类3k3k1，3k2……
模m9，可把整数分为9类9k9k19k2…9k82整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同
如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6
3按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质
f如：若a5k11b5k22则ab除以5余数是312；
ab除以5余2
1×2；
b2除以5余4
22
例1求19891989除以7的余数
解：∵198919897×28411989，
∴19891989≡11989≡1mod7
即19891989除以7的余数是1
练习：43今天是星期一，99天之后是星期________
44
个整数都除以
－1至少有两个是同余数，这是为什么？
45a是整数，最简分数a化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几7
位？
4运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验
例2下列演算是否正确？
①12625956821193；②2473×4291060927
解：①用各位数字和除以9，得到余数：
12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7
∵71≠7，∴演算必有错
②2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7
而7×642，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错
注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确
练习：46检验下列计算有无差错：
①372854－83275289679；
②23366292÷62363748
5整数按模分类，在证明题中的应用
例3求证：任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数
证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论
如果ab除以3，有同余数包括同余0、1、2，那么ab的差是3的倍数；
如果ab除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么ab的积是3的倍数；
如果ab除以3，余数分别是1和2，那么ar