的和例题1填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______
解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于14965594045
11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个
位数的和也都是45所以所求的个位数字是：
149655940×123456781的个位数5
2为判断不是完全平方数提供了一种方法
例题2求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数
证明：用反证法设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：

－22
－12
2
12
22k2

k都是整数
5
22k2
∵k2是5的倍数，k也是5的倍数
设k5m则5
2225m2

225m2

22是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么
2的倍数是8或3
但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数
3判断不是完全平方数的其他方法
例题3已知：a是正整数
求证：aa11不是完全平方数
证明：∵aa11a2a1，且a是正整数
∴a2aa11a2a1a12，
∵a和a1是相邻的两个正整数，aa11介于它们的平方之间
∴aa11不是完全平方数
例题4求证：1111
1的正整数不是完全平方数
个1
证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即2k124k11
但1111111100114k114k4×234k23

个1

2个1
即1111除以4余数为3，而不是1，
个1
∴它不是完全平方数
例题5求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数
证明：设2a12b1ab是整数是任意的两个奇数
∵2a122b124a24a14b24b1
4a2b2ab2
这表明其和是偶数，但不是4的倍数，
故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数
三魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数常见的魔术数有：
a能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5即10的一位正约数是魔术数
fb能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50即100的两位正约数也是魔术数
c能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500即1000的三位正约数也是魔术数
练习：30在小于130的自然数中魔术数的个数为_________四两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9
练习：31已知：
是自然数，且9
25
26的值是两个相邻自然数的积，那么
的值是：
___________________
四质数、合数
1；1正整数的一种分类：质数除1和本身外不能被其他自然数整除；
合数除1和本身外还能被其他自然数整除
2质数中，偶数r