正整数，且0≤ai≤9i123…
的整数最高位a
≠0例如：543215×1044×1033×1022×101
例题：从12到33共22个正整数连写成A121314…3233试证：A能被99整除证明：A12×104213×104014×1038……31×10432×10233
12×1002113×1002014×1019……31×100232×10033∵100的任何次幂除以9的余数都是1，即100
991
≡1mod9∴A99k121314……313233k为正整数
99k12331332…222399k45×1199k99×5∴A能被99整除练习：20把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980试证明这个数能被1980整除二常见的一些特例
999910
－1
个9
3333
个3

13
10

－1
1111
个1

19
10

－1
例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积
证明：第


个数是11112222

个1

个2

19
10


1
×10

29
10

1
110
110
29
10

110

1
3
3
3
10
110
1


1
3
3
f3333×33334证毕

个3

1个3
练习：21化简9999×999919999_______________________________

个9

个9

个9
22化简11112222____________________________________________
2
个1

个2
23求证1111是合数
1990个1
24已知：存在正整数
能使数1111被1987整除
个1
求证：数p1111999988887777和

个1

个9

个8

个7
数q1111999988887777都能被1987整除

1个1
1个9

1个8

1个7
证明：把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数
25
的差，能被7或13整除，则这个正整数就能被7或13整除
26求证：1111×1000051是完全平方数

个1

1个0
三末位数的性质
一用Na表示自然数的个位数例如a124时，Na4；a－3时，Na3
1Na4krNara和k都是整数，r1234
特别的：个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身个位数是
4，9的正偶数次幂的个位数也是它本身
NaNbNa－b010a－b
2
3若Naa0Nbb0则Na
Na0
；NabNa0b0
例题1：求①53100；和②777的个位数
解：①N53100N34×244N341②先把幂的指数77化为4kr形式，设法出现4的因数7777－77776－143772－174721437×4×12×74721434k3
∴N777N74k3N733
练习：27
2829
19891989的个位数是______，999的个位数是_______
求证：1019871989－199319912210×3315×7720×5525的个位数是______
二自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于14965594045
f1用这一性质计算连续整数平方的个位数r