立，若极限状态函数方程为非线
性即为关于X的二阶或高阶方程时，则式（23就不成立。所以修正后的可靠性灵敏度计算
公式应为
dRRgRgdXTgXTgXT
（24）
在这里要说明的是方差的灵敏度计算公式无需进行修正，因为极限状态函数的均值和设
计参数向量的方差是完全相互独立的，而且中不包含VarX项，所以有
g0VarX
（25）
所以dRRgRgRg不变。dVarXgVarXgVarXgVarX
第三章鞍点逼近的可靠性灵敏度分析
31鞍点逼近理论
鞍点逼近理论的基本思想是利用基本随机参数的线性极限状态函数rgx）的累积生成函数（cumula
tge
erati
gfu
ctio
CGF和矩生成函数（mome
tge
erati
gfu
ctio
MGF的性质以及Fourier逆转公式，来求得极限状态函数基于鞍点的指数幕级数
5
f表达式形式的联合概率密度函数的近似值。鞍点逼近理论最早应用于复变函数，1954年Da
iels16首先提出了鞍点逼近理论并将其应用到统计推断问题中。鞍点逼近方法给出了

个独立相同分布的基本随机参数的概率密度函数的精确逼近式，误差的阶虽与正态近似分布
误差的阶相同，但实际计算中鞍点逼近法的精度要高的多，特别是在尾部区域中明显优于正
态近似分布，因此鞍点逼近法是小样本情况下一个非常有效的统计近似方法。
设Xi为基本随机参数，xi表示Xi的一个观测值，XiXX1X2X
T表示随机
数矢量，其概率密度函数（PDF为fxx，矩生成函数MGF为
MxteKxt
xetxfxdx
x
其中Kxt是随机变量X的累积生成函数，则
31
KXtI
MXt
32
根据矩生成函数的定义，运用傅里叶反变换公式得到y的概率密度函数fyy为
fy
y

12

M
i
e
iy
d

1

2

expKyd

33
应用指数幕级数展开估计式（33得到y的概率密度函数fyy在点y0处的鞍点估计
式fyy
如下：
f
y

y0



1
2K
y
ts

1
2
eK
y
ts
ts
y


34
在文献中，Da
iels给出了计算jgx分布函数的精确公式
F（yy）
w

w
1w

1v

w

1w
I

wv
35
式（41中（w和（w）和分别为标准正态分布函数的分布函数和概率密度函数。
1
wsg
ts2tsy0Kyts2
36
1
v

tsK
y
ts
2
37
式（36符号函数sg
t1，0，1取决于t为正值，0或者是负值。在y00时，式
（35中的w1I
w可以看作是一次二阶矩方法中正态变量空间的可靠度指标βwv
值。
对于非线性功能函数为ygx的函数，如果随机参数矢量xx1x2x
T的均值为

（x1

x2



）T根据泰勒公式，将
x

ygx在基本随机参数的均值处展开如下
6
f
r