2是无理数的8种证明
南京师大附中江宁分校叶军
2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此
付出了生命的代价后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此“危
机”过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在
此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证
换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面悬挂着许多
有趣的方法，从中可以窥见数学的趣味我们准备从不同的角度来证明2是一个
无理数，以体会这一点
证法1：尾数证明法假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2a其中ab1，且a与b都是正整数则a22b2由于完全平方数b2的尾数
b
只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个
因为a22b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0或5，因此a
与b有公因数5，与ab1矛盾！因此2是无理数
这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数证法2：奇偶分析法假设2a其中ab1，且a与b都是正整数则a22b2
b
可知a是偶数，设a2c则4c22b2，b22c2，可知b也是偶数，因此a、b都是
偶数，这与ab1矛盾！因此2是无理数
希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的
“万物皆数任何数都可表示成整数之比”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大
为恐慌，希帕索斯因此葬身海底
证法3：仿上，得到a22b2，易见b1，否则b1，则2a是一个整数
这是不行的a22b2改写成b2aa因为b1，因此b有素因子p，因此p整除a
2
2
1
f或a，总之，p整除a，因此p同时整除a与b，这与ab1矛盾
证法4：仿上，得到a22b2，等式变形为b2a2b2abab，因为b1，
因此存在素因子p，p整除ab或ab之一，则同时整除ab与ab，因此p整
除a，因此p是a、b的公因数，与ab1矛盾
证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都
可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此a

pr11
pr22
pmrm
，b

qqs1s212
q
s

，其
中p1pm与q1q
都是素数，r1rm与s1s
都是正整数，因此
p2r11
p2r22
pm2rm
2
qq2s12s212
q
2s

，素数
2
在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇
数次幂，矛盾，因此2是无理数
证法6：假设2a，其中右边是最简分数，即在所有等于a的分数中，a
b
b
是最小的正整数分子，在a22b2的两边减去ab有a2ab2b2r