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三角函数的最值问题
三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。三角函数的最值问题的训练可提高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。求三角函数的最值要注意其特殊性（正、余弦的有界性），同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运用函数的单调性，配方法等）。求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。常见的三角函数最值的基本类型有：（1）yasi
xb（或yacosxb）型，利用si
x≤1或cosx≤1，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。（2）yasi
xbcosx型，引入辅助角，化为yabsi
（x）利用函
22
例1：已知θ∈0πf（θ）si
cosθ的最大值为a最小值为b，gθcossi
θ的最大值为c最小值为d则abcd的大小顺序为。
ππ分析：θ∈0，π，cosθ∈11si
cosθ∈si
1si
122asi
1bsi
1πθ∈0，π，si
θ∈010cossi
θ∈cos112c1dcos1si
1a∴bdac
ππ上的最小值是什么？44


例2：函数fxcos2xsi
x在区间
数si
x≤1即可求解。Yasi
2xbsi
xcosxmcos2x
型亦可以化为此类。（3）yasi
2xbsi
xc（或yacos2xbcosxc），型，可令tsi
x（tcosx）1≤t≤1化归为闭区间上二次函数的最值问题。（4）Y
分析：化为fxsi
2xsi
x122ππQx∈∴设tsi
x∈442215fxtt1t24
22
si
x≤1或cosx≤1去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y
asi
xbacosxb（或y）型，解出si
x（或cosx）利用csi
xdcosxd
asi
xbacosxb（y）型，可化归为si
（x）g（y）去处理；ccosxdcsi
xd
或用万能公式换元后用判别式去处理；当ac时，还可利用数形结合的方法去处理上。（6）对于含有si
x±cosxsi
xcosx的函数的最值问题，常用的方法是令si
x±cosxtt≤问题。
212时，fxmi
22Si
θ1的最大值与最小值是什么？例3求函数fθcosθ2si
θ1分析：法一：设yfθ去分母整理化为cosθ2
t
2将si
xcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值
si
θycosθ12y
y21si
θr