（二）典型例题讲解：典型例题讲解：
1．导数的概念．例1．已知曲线y3x上的一点P00，求过点P的切线方程解析：如图，按切线的定义，当x→0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x0例2．求曲线y＝x2在点2，4处的切线方程解析：∵yx2∴yx0＋x2－x02＝2x0x＋x24x＋x2y∴k＝limlim4x4x→0xx→02∴曲线y＝x在点2，4处切线方程为y－4＝4x－2即4x－y－4＝0例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间5，5＋t内相应的平均速度．解析：∵S1tt2∴S1tttt2－1tt22tttt2S∴2t1t即vt2t1t∴v5t11t即在5，5＋t的一段时间内平均速度为t＋11米／秒S∴vtS’＝limlim2t1t2t1t→0tt→0即v5＝2×5＋1＝11∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．例4．利用导数的定义求函数y
1在x1处的导数。x
解析：y
111xy11∴x1x1x1x11x
∴lim
y11limx→0xx→01x11x2
12xsi
例5．已知函数fxx0
x≠0x0
求函数fx在点x＝0处的导数1x
解析：由已知fx0，fx在x0处有定义，yf0x－f0x2si
即
11yyxsi
limlimxsi
0x→0xx→0xxx∴函数fx在x＝0处导数为0
即f’0＝0
f122x1x≤1例6．已知函数fx判断fx在x＝1处是否可导？1x1x1211x2111y2解析：f11limlimlim1x1x→0xx→0x→0x211x11y1yylimlim2∵lim≠limx→0xx→0x→0xx→0xx2∴函数yfx在x＝1处不可导．例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’解析：∵y2x33∴y2xx33－2x336x2x6xx22x3yy∴6x26xx2x2∴y’lim6x2x→0xx3例8．已知曲线y＝2x＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵x1∴y5P点的坐标为15利用例7的结论知函数的导数为y’6x2∴
y’x1＝6∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6x－1
即6x－y－1＝0又曲线在P点处法线的斜率为－∴曲线在P点r