用递推法求数列通项公式的几种常见类型
贵州省沿河县官舟中学田明(565311)
数列的第
项a
与前面相邻一项a
1(或相邻几项)所满足的关系式叫递推公式给出数列的前几项(初始值)和递推公式的数列叫递推数列求数列的通项公式相当于求函数的解析式,在数列的相关问题中占有相当的重要地位,是每年的必考内容由于求通项公式解时渗透多种数学思想方法,因此,求解过程中往往显得方法多,灵活度大,技巧性强数列问题对能力要求高,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出其中归纳、猜想通项公式是难点其关键在于观察分析数列的前几项的特征、特点找到数列的一个构成规律根据此规律和递推关系便可得出一个相应的通项公式类型1:形如“a
1
a
f
”的递推式
由此类递推式给出的数列,求通项公式,采用“累加法”
a
a1a2a1a3a2a
a
1a1f1f2f
a1
k1
fk
例1(08高考天津卷文20题)已知数列a
中,a1(Ⅰ)设b
1,a22
,且a
1
1qa
qa
1
≥2,q0.
a
1a
N,证明b
是等比数列;
(Ⅱ)求数列a
的通项公式;(Ⅲ)(略)【解析】(Ⅰ)证明:由题设a
1
a
1a
qa
a
11qa
qa
1
≥2,得
,即
b
qb
1,
≥2
.
又b1
a2a11,q0
,所以b
是首项为1,公比为q的等比数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),
a2a11,
a3a2q
,
a
a
1q
2
≥2.a11q…q
1
2
将以上各式相加,得a
≥2.所以当
≥2
时,
f1q,q1,1a
1qq1
,
1
上式对
类型2:形如“
a
1a
1显然成立.
f
”的递推式求通项
由
a2a1
f1
a3a2
f2
a
a
1
f
1
累乘可得
a
a1
f1f2f
1
即a
1
a
a1fk
k1
1
例2:已知数列a
中a1
2
a
1
求a
的通项公式
【解析】注意到递推公式是一个乘积形式可以把它转化为商的形式用迭乘法便可消去中间项从而求出其通项公式∵a
1
a2a1
1
a
∴
a
1a
1
∴
2
a3a2
32
a4a3
43
a
a
1
1
把上述等式相乘得
a2a1a3a2a
a1a4a3r