fA312－312010823。11000121011013、写出下列图G的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。
解：（1）设邻接矩阵为A，则
2
10
f01A01101A000
1010110100
0101101010
1010100101
13111，A231120010020，A11000
131231321312。31322224010020100201。10200101
（2）设邻接矩阵为A，则
14、设AB为同阶矩阵，且满足A
1BE。求证：A2A的充分必要条件是2
B2E
证明：先证明必要性：由于A
1BE，故2
…………（1）
A2
如果A2A，即
12B2BE4
11BEB22BE24
由此得B2E再证充分性：若B2E，则由（1）式可知，
A2
2
11E2BEBEA。42
2
所以，AA的充分必要条件是BE。
15、设Aaij为
阶矩阵，称A的主对角线上所有元的和为A的迹，记作trA，即
trAa11a22a
aii。
i1


求证：当AaijBbij均为
阶矩阵时，有（1）trABtrAtrB（2）trkAktrA（3）trAtrA
T
（4）trABtrBA。
11
f证明：（1）因为A，B为
阶矩阵，所以AB也为
阶矩阵，并设ABcij
根据矩阵加法的定义，可知：cijaijbij所以ciiaiibii因此，即
ciiaiibii，
i1i1i1





trABtrAtrB。
（2）因为A为
阶矩阵，所以kA也为
阶矩阵，并设kAcij
。
根据矩阵加法的定义，可知：cijkaij因此，
所以
ciikaii。
ciikaiikaii，即
i1i1i1





trkAktrA。
（3）令ATcij
根据矩阵转置的定义可知，ciiaii，又
trAa11a22a
aii，
i1


所以
trATc11c22c
ciiaii，
i1i1
T



即：trAtrA。（4）令ABCcij
，ABDdij
，其中
cijai1b1jai2b2jai
b
j，dijbi1a1jbi2a2jbi
a
j。
显然，当ij时，cijdij，于是
c
i1


ii
dii，即trABtrBA。
i1


16、计算下列行列式
cos（1）si

si
；cos
113
（2）2
11；20
1
12
f（3）
34215352152809229092
5111
5
；（4）2
1r