…
阶对称矩阵Abij
，其中bijbji，i12…
，j12…
1正确。显然ABaijbij
，又aijaji，bijbji，其中i12…
，j12…
所以
aijbij
ajibji
，
6
f即AB为对称矩阵。（2）正确。显然kAkaij
，又aijaji，其中i12…
所以
j12…

kaij
kaji
，
即kA为对称矩阵。（3）错误。设对称矩阵A和B分别为：
1221A21，B13；
所以AB
47，显然AB不为对称矩阵。55
8、求所有与A可交换的矩阵
11010A011（1）A；2。11001
解：（1）显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令Xc又
ab，d
baAXacbd，abbXAcdd，
由可交换条件AXXA，可得
b0ad（其中adc为任意常数），
即
a0Xca。
a（2）显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令XdgadAXdggbecfehfi，hibehcf，i
又
7
faXAdg
bcdeef，ghhi
d0g0h0c0aeibf（其中aeibf均为任意常数），
ab
由可交换条件XAAX，可得
即
ab0X0ab。00a
9、设矩阵A与矩阵B1B2均可交换，求证：A与B1B2B1B2也可交换，且
A2B12AB1AB1。
证明：因为矩阵A与矩阵B1B2可交换，即AB1B1A，AB2B2A，所以
AB1B2AB1AB2B1AB2AB1B2A，
即矩阵A与B1B2可交换。又
AB1B2B1AB2B1B2A，
即矩阵A与B1B2也可交换。所以由AB1B1A有：AB1AB1AB1A－AB1B1AB1
22
。
10、计算（其中
为正整数）
11（1）11
3
；
13（2）01；


a00（3）0b0；00c


00（4）00
100010；001000



10（5）00
111111；011001
3
3
11111111（6）；11111111
1001解：（1）11r