η也是齐次方程组的解，这与η是非齐次线性方程组Axb的一个解矛盾，矛盾说明η，ξ1，，ξ
r线性无关（5分）L
2因为A（ξiη）AξiAη0bb，（i12L
r），所以
η，ξ1η，，ξ
rη均为非齐次方程组Axb的解，分）L（7
下面证明它们是线性无关的L（η，ξ1η，，ξ
r
cic1η）
L（η，ξ1，，ξ
r）
（i23L
r）
初等列变换不会改变矩阵的秩，所以R（η，ξ1η，，ξ
rη）R（η，ξ1，，ξ
r）
r1，LL得出η，ξ1η，，ξ
rη是非齐次方程组Axb的（
r1）个线性无关L
广东工业大学试卷用纸，共7页，第5页
f的解．（10分）
111x1x2x33六、（10分）对方程组x1x2bx34，11ba11b，xaxx31a12311当a≠1且b≠1时，由克拉默法则，方程组有唯一解；3分
131113r112当a1且b≠1时，11b400b11，方程组有无穷解，11130000
3b4x11b1x2c10，c为常数x013b1
7分
1131113r13当b1时a任意11140001出现矛盾方程，无解11130a100
10分
七、14分）（
1121121r11增广矩阵1a110a130a1120042a2a
因为线性方程组Axβ有解但不唯一，所以R（A）R（A，β）3，从而
42a0－2－a0推出a－24分
121λ12A121，AλE12112推出λ10λ23λ33
21λλ3λ32λ11λ
1
9分
1λ10其对应的特征向量p111
广东工业大学试卷用纸，共7页，第6页
f1λ23其对应的特征向量p2211λ33其对应的特征向量p301
12分
p1p2p3线性无关，它们组成的矩阵Q可逆，且QAQ1为对角阵
1Q111
2
1
1
0，QAQ1
1
0Λ00
030030
14分
若进一步把Q化为正交矩阵也对，酌情给分
广东工业大学试卷用纸，共7页，第r