x2hh∈R上C2在点P处的切线与C1交于点MN当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时求h的最小值
b1a2y2∴所求的椭圆方程为x21解I由题意得b2421b1a
II不妨设Mx1y1Nx2y2Ptth则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′
2
xt
2t直线MN的方程为
y2txt2h将上式代入椭圆C1的方程中得4x22txt2h240即
41t2x24tt2hxt2h240因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点所以有116t42h2t2h240
设线段MN的中点的横坐标是x3则x3
x1x2tt2h221t2
t1由题意得x3x4即有t21ht10其中的2
设线段PA的中点的横坐标是x4则x4
21h24≥0∴h≥1或h≤3当h≤3时有h204h20因此不等式116t42h2t2h240不成立因此h≥1h1时当将因此h代入方程t21ht10得t1h1t1代入不等式116t42h2t2h240成立
的最小值为1422009浙江文本题满分15分已知抛物线Cx22pyp0上一点Am4到其焦点的距离为I求p与m的值II设抛物线C上一点P的横坐标为tt0过P的直线交C于另一点Q交x轴于点M过点Q作PQ的垂线
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交C于另一点N若MN是C的切线求t的最小值解Ⅰ由抛物线方程得其准线方程y
p根据抛物线定义2
p171解得p242
点Am4到焦点的距离等于它到准线的距离即4
∴抛物线方程为x2y将Am4代入抛物线方程解得m±2
Ⅱ由题意知过点Ptt的直线PQ斜率存在且不为0设其为k则lPQytkxt当y0x
2
2
t2ktk
则M
t2kt0k
联立方程
yt2kxt整理得x2kxtkt02xy
即xtxkt0解得xt或xkt
∴Qktkt2而QN⊥QP∴直线NQ斜率为
1k
∴lNQ
11ykt2xktyktxkt联立方程kkx2y
22
整理得x
11xktkt20即kx2xktkkt10kk
kkt1或xktk
kxkkt1xkt0解得x
∴N
kkt1kkt1∴KNMkk2
2
kkt12k2kt12k2kkt1t2ktkt2k21kk
kkt1k
而抛物线在点N处切线斜率k切r