y′
x

2kkt2k
∵
k2kt122kkt2MN是抛物线的切线∴kkt2k21
整理得ktk12t0
22
∵
222∵t2412t2≥0解得t≤舍去t≥∴tmi
或333
432009北京文本小题共14分已知双曲线C
x2y2321a0b0的离心率为3右准线方程为x2ab3
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Ⅰ求双曲线C的方程
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Ⅱ已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点AB且线段AB的中点在圆xy5上求m的值
22
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程圆的切线方程等基础知识考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法考查推理运算能力
a233解得a1c3解Ⅰ由题意得cc3a
y2∴bca2∴所求双曲线C的方程为x12
2222
Ⅱ设AB两点的坐标分别为x1y1x2y2线段AB的中点为Mx0y0
2y21x22由得x2mxm20判别式02xym0
∴x0
x1x2my0x0m2m2
∵点Mx0y0在圆x2y25上∴m2m5∴m±1
22
442009北京理本小题共14分已知双曲线C
x2y2321a0b0的离心率为3右准线方程为x2ab3
Ⅰ求双曲线C的方程Ⅱ设直线l是圆Ox2y22上动点Px0y0x0y0≠0处的切线l与双曲线C交于不同的两点AB证明
∠AOB的大小为定值
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程圆的切线方程等基础知识考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法考查推理运算能力
a233解得a1c3Ⅰ由题意得cc3a
y2∴bca2∴所求双曲线C的方程为x12
2222
Ⅱ点Px0y0x0y0≠0在圆x2y22上
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圆在点Px0y0处的切线方程为yy0化简得x0xy0y2
x0xx0y0
2y21x22222由及x0y02得3x04x4x0x82x002xxyy200
∵切线l与双曲线C交于不同的两点AB且0x02
2
∴3x04≠0且16x043x0482x00
2222



设AB两点的坐标分别为x1y1x2y2
24x082x0则x1x22x1x223x043x04
∵cos∠AOB
OAOBOAOB
且
OAOBx1x2y1y2x1x2
12x0x12x0x22y0
x1x2
1242x0x1x2r