面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分2过AC的平面交BD于点E，若，求二面角DAEC的余弦值．学审题条件信息信息：△ABC为正三角形，△ACD是直角三角形想到方法特殊三角形中的特殊的边角：△ABC中三边相等，△ACD中的直角边角相等关系可证两三角形全等，进而可证AD＝DC，∠1建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴2两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角，也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围注意什么
信息：∠ABD＝∠CBD，AB＝BD信息：证明：平面ACD⊥平面ABC
ADC＝90
面面垂直的证明方法：几何法或定义法由体积的大小关系转化到点
信息：体积相等
到面的距离的大小关系，进而知点E为DB的中点
规范解答1证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO又因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC所以∠DOB为二面角DACB的平面角．2分在Rt△AOB中，BO＋AO＝AB又AB＝BD，所以
222
BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°所以平面ACD⊥平面ABC4分
→2由题设及1知，OA，OB，OD两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，→OA为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A100，B0，3，0，C－100，D0，01．
最新中小学教案试题试卷习题资料5
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5分
1由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为2
D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E0，
12

31，22
6分31→→→故AD＝－101，AC＝－200，AE＝－1，，22→
AD＝0，设
＝x1，y1，z1是平面DAE的法向量，则→
AE＝0，－x1＋z1＝0，即31－x1＋y1＋z1＝022可取
＝1，

3，13
8分
→mAC＝0，设m＝x2，y2，z2是平面AEC的法向量，则→mAE＝0，
即
－2x2＝0，31－x2＋y2＋z2＝0，22可取m＝0，－1，3．3－＋33
m7则cos〈
，m〉＝＝＝10分
m721×23由图知二面角DAEC为锐角，所以二面角DAEC的余弦值为7712分
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1．用向量法求解空间角的四个要点：1“建系”，构建恰当的空间直角坐标系，如本题利用线面垂直关系构建空间直角坐标系；2“求坐标”，准确求r