．解：1fx＝si
π2－xsi
x－3cos2x＝cosxsi
x－231＋cos2x
＝12si

2x－
23cos
2x－
32
＝si
2x－π3－23，
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因此fx的最小正周期为π，最大值为2－232当x∈π6，23π时，0≤2x－π3≤π当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤51π2时，fx单调递增；当π2≤2x－π3≤π，即51π2≤x≤23π时，fx单调递减．综上可知，fx在π6，51π2上单调递增；在51π2，23π上单调递减．
课外拓展阅读三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y＝asi
2x＋bsi
x＋c型函数的最值可将y＝asi
2x＋bsi
x＋c中的si
x看作t，即令t＝si
x，则y＝at2＋bt＋c，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x的取值范围，求出t的范围．另外，y＝acos2x＋bcosx＋c，y＝asi
2x＋bcosx＋c等形式的函数的最值都可归为此类．
典例1设x∈－π6，23π，求函数y＝4si
2x－12si
x－1的最值．
思路分析
令t＝si
x，x∈－π6，2π3→t∈－12，1
→求得y＝4t2－12t－1的最值，即原函数的最值解令t＝si
x，由于x∈－π6，23π，故t∈－12，1y＝4t2－12t－1＝4t－322－10，因为当t∈－12，1时，函数单调递减，所以当t＝－12，即x＝－π6时，ymax＝6；
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f教育配套资料K12当t＝1，即x＝π2时，ymi
＝－92．y＝asi
2x＋bsi
xcosx＋ccos2x型函数的最值
可利用降幂公式si
2x＝1－c2os2x，cos2x＝1＋c2os2x，si
xcosx＝si
22x将y＝asi
2x＋bsi
xcosx＋ccos2x整理转化为y＝Asi
2x＋Bcos2x＋C求最值．
典例2求函数y＝si
xcosx－si
x0xπ4的最大值．
思路分析
解y＝si
xcosx－si
x＝si
xcosx－si
2x＝12si
2x－1－c2os2x＝12si
2x＋cos2x－12＝22si
2x＋π4－12因为0xπ4，所以π42x＋π434π，所以当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，ymax＝22－13．y＝abscio
sxx＋＋cd型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有si
x或cosx的一次式的形式，一般可将其化为fy＝si
ωx＋φ的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．典例3求函数y＝2＋3csois
xx的最值．思路分析
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