高一数学竞赛训练试题（4）
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1．复数1i41i4
．
2．已知直线xmy10是圆Cx2y24x4y50的一条对称轴，则实数
m

3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的
概率是
（结果用最简分数表示）．
4．已知cos41，则si
4cos4
．
5
5．已知向量a，b满足ab2abπ，则以向量2ab与3ab表示的有向线段3
为邻边的平行四边形的面积为
．
6．设数列a
的前
项和为S
．若S
是首项及公比都为2的等比数列，则数列a
3
的前
项和等于
．
7．设函数fxx22．若fa＝fb，且0＜a＜b，则ab的取值范围是
．
8．设fm为数列a
中小于m的项的个数，其中a
2
N，
则ff2011
．
9．
设锐角
α，β
满足：αβ＜
π2
，且
si
α2＝kcosβ，则实数
k
的取值范围为_________
10．已知m是正整数，且方程2xm10xm100有整数解，则m所有可能的值
是
．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．设z1，z2为一对共轭复数，若z1z2＝
6，且
z1
z
22
为实数，求z1
41
f12．设fxx2bxcbcR．若x≥2时，fx≥0，且fx在区间23上的最
大值为1，求b2c2的最大值和最小值．
42
f13．如图，P是△ABC内一点．
（1）若P是△ABC的内心，证明：BPC901BAC；2
（2）若BPC901BAC且APC901ABC，证明：P是△ABC的内心．
2
2
A
P
B
C
43
f14．已知是实数，且存在正整数
0，使得
0为正有理数，证明：存在无穷多个正整数
，使得
为有理数．
44
f一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1．复数1i41i4
．
答案：－8
2．已知直线xmy10是圆Cx2y24x4y50的一条对称轴，则实数
m

答案：32
3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的
概率是
（结果用最简分数表示）．
答案：19145
4．已知cos41，则si
4cos4
．
5
答案：45
5．已知向量a，b满足ab2abπ，则以向量2ab与3ab表示的有向线段3
为邻边的平行四边形的面积为
．
答案：103
6．设数列a
的前
项和为S
．若S
是首项及公比都为2的等比r