高一数学竞赛训练试题（2）
一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程x22mxm210的根大于2，且小于4，则实数m的范围是
．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为
．
3．设实数x，y满足x24xy23＝0，则x2y2的最大值与最小值之差是
．
4．若存在正实数a，b满足abi
abi
（i是虚数单位，
N），则
的最小
值是
．
5．若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则A的取值范围是
．
6．若数列a
满足a49，a
1a
1a
13a
0（
N），则满足条件的a1的
所有可能值之积是
．
60
7．已知fxx294x2013，则f
f

．

30
8．设x，y02，且满足2si
xcosysi
xcosy1，则xy的最大值
2
为
．
9．复数z1，z2满足z1＝3，z2＝5，z1z2＝6，则z1z2＝___________10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完
全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数
仍为完全平方数，小王现在的年龄是
．
二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．
11．在ABC中，abc分别是角ABC的对边，设ac2bAC．求si
B的3
值．
f12．如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B、D，A、C关于对角线BD对称的点分别是A、C．证明：四边形ABCD是梯形．
f13．设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为、，t为实数，．⑴若x1，x2为区间，上的两个不同点，求证：4x1x2－tx1＋x2－40；
⑵设fx＝4xx2－1t，fx在区间，上的最大值与最小值分别为fmax与fmi
，gt＝fmax－fmi
，求gt的最小值．
f14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．
ffffffff11．在ABC中，abc分别是角ABC的对边，设ac2bAC．求si
B的3
值．
分析化角为边转化为三角关系处理．
解由正弦定理及角变换求解．由ac2b，得si
Asi
C2si
B．再由三角形内角和定理及AC得
3A2BCB，
3232
f所以si
Asi
2B3cosB1si
B，322222
si
Csi
B3cosB1si
B，322222
又si
B2si
BcosB，代入到si
Asi
C2si
B中得22
3cosB4si
BcosB，由cosB0得si
B3，
2
22
2
24
从而cosB13，所以si
B39．
24
8
13．设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为、，t为实数，．⑴若x1，x2为区间，上的两个不同点，求证：4x1x2－tx1＋x2－40；
⑵设fx＝4xx2－1t，fx在区间r