第七讲式子1a2
a
二次根式的运算
a≥0叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．c≥0；；
cbcabc
a
b
ab
a
0b0
3
ab

ab
a
0b0；
4
a
2

a
2
a

0．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式整式、分式运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．例题求解【例1】已知y
x
2
2
5x4

x
2
2
45x
2
，则x2
y
2

．
重庆市竞赛题思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．注：二次根式有如下重要性质：123
a0
，说明了
2
a
与
a
、a2
一样都是非负数；
a
a
a

0，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化；
a
2
a
，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．【例2】化简
11
1
1
1
2

1
1
1
1
2
，所得的结果为（
）
A．1

B．1
1


C．1
1


1
1
D．1
1


1
1
武汉市选拔赛试题思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为
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f普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算：（1）
643326332
；
（2）
10
1414
151521
21
10
；
1149474749
（3）
133

15335

7557
218

；
315
1026335231
．
思路点拨
若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分
拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．【例4】1化简2计算3计算
423423
；
北京市竞赛题
108322
a2a1
“希望杯”邀请赛试题
a2a1
．湖北省孝感市“英才杯”竞赛题
3
思路点拨（1）把42
3
万与42
分别化成一个平方数化简，此外，由于42
3
与42
3
是
互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解r