第八讲
二次根式的化简求值
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．例题求解【例l】已知x
1x2，那么
xx23x1

xx29x1
的值等于
．
河北省初中数学创新与知识应用竞赛题思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x示．【例2】满足等式xyyx2003x2003y2003xy2003的正整数对x，y的个数是A．1B．2C．3D．4全国初中数学联赛题思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】已知a、b是实数，且1a2a1b2b1，问a、b之间有怎样的关系请推导．第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编思路点拨由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．【例4】已知：xa四川省中考题思路点拨视x2x24x为整体，把xa
1a1a
1的代数式表x
0a1，求代数式
x2x6x3x2x24x的值．2xx2xx2x24
平方，移项用含a代数式表示
x2x24x，注意0a1的制约．
【例5】
1设a、b、c、d为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别
为a2c2，b2d2，ba2dc2，求此三角形的面积；“五羊杯”竞赛题（2）已知a，b均为正数，且ab2，求Ua24b21的最小值．
f北京市竞赛题思路点拨1显然不能用面积公式求三角形面积为什么，a2c2的几何意义是
以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；2用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．学力训练1．已知x
3232
，y
3232
，那么代数式
xyxy2xyxy2
值为
．
2．若a3．已知
1140a1，则aaa1321
．
x3x2
，则
x35x2的值．2x4x2
a2a2a4ar