构造一元二次方程解竞赛题的策略构造一元二次方程解竞赛题的策略
江西省井冈山市龙江中学（343600）刘定邦
内容提要：内容提要：一元二次方程是初中数学的重要内容，运用一元二次方程解题，方法灵活，是培养学生创新能力的体现。不少竞赛题，借助构造一元二次方程求解，可起到化难为易，化繁为简的目的。文章从五个方面，介绍了构选一元二次方程解竞赛题的方法。关键词：构造；一元二次方程；竞赛题；关键词：构造；一元二次方程；竞赛题；解答一元二次方程是初中数学重要内容有些竞赛题正面求解比较困难，很难找到解题思路，但如果根据问题的特征，通过转化、变换，构造与之相关的一元二次方程，借助我们已熟悉的方程知识及解题技巧可化难为易化繁为简，使问题茅塞顿开，起到事半功倍的作用其特有的魅力和功效定会引起学生们的极大兴趣，本文例举介绍构建一元二次方程解竞赛题。一、根据方程的定义构造例1：设实数s、t分别满足19s299s10　t299t190并且st≠1，求
sts1的值（1999年全国初中数学联合竞赛试题）。t
这道题初看，好像要求s和t若求s、t计算量就大了，做起来也不方便。我们只要注意这两个方程的系数，不难发现，二次项的系数与常数项正好对调，我们只要将字母变换，就能变成同一个方程。
112解：显然，≠0，st≠0，t99t190两边同除以t得：991920，由21tt121即199910，又19s299s10，tt1可知s、可以看作方程x299x190的两根，又st≠1t199s1所以s，　t19t19sts1s11s991ss－5ttttt1919
二、根据根与系数的关系构造例2：已知实数a、b、c满足：abc2abc4，1求a、b、c中的最大者。的最小值，2求abc的最小值（2003年全国初中数学竞赛试题）
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f从形式上看容易联想到可以转化为两数和与两数积的形式这样就可以根据根与系数的关系构造一元二次方程来求解解1设c是最大者由abc4可知c0并可化为ab2c化为ab由abc4可
44因此实数a、可以看作关于x的一元二次方程x22cx0的bcc4　≥0，c34c24c16≥0，c2c2c4≥0，c0即因c
两个根，由a、b是实数，所以△≥0，得：
2c24×
所以c20得c2c4≥0，解得：c≤2或c≥4，因为c是最大者，故c的最小值是4
2因为ab≥ab2c，
所以abc≥abc2ccc2c≥2c2≥6故abc的最小值是6r