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三、根据判别式构造
1bc例3:已知bc2abca且a≠0,求的值(1999年全国联4a
赛试题)。要求a、b、c三个的值,一个方程,求出有一定的困难。考虑到两边同时乘以4,移项刚好符号b24ac的形式,故可以运用判别式构造方程来解。解:由已知条件可变形为bc24abca0,故它可以看作关于x的方程abx2bcxca0有两个相等的实数根的判别式,又abbcca0故这个方程有一根为1,又方程有两个相等的实根,所以两个根都为1,故可得bccabc2,1,由此可得,2abc,所以2ababa
四、辅元转化为主元构造例4:若关于x的方程x416x3812ax216a142xa221a680的各根为整数,求a的值,并解此方程(2009年初中数学竞赛江西赛区决赛试题)若把x看作主元,一元四次方程,我们无能为力求解,若把a作为主元,构造关于a的二次方程,正是我们解决问题的关键。解:视原方程为a的一元二次方程,整理得:
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fa22x216x21ax416x381x2142x680……①而x416x381x2142x68x26x4x210x17,所以:关于a的方程可以用分解因式法解得:ax26x4ax210x170,因此ax26x4或ax210x17再回到x的方程,可得
x26x4a0……②,
或x210x17a0……③
解②得:x3±5a解③得:x5±8a,欲使x为整数,必使5a与8a皆为平方数,设5am28a
2m
均为正整数
m,由此得:
2m23(
m)
m3由此得:
3m1所以,a-4,故得x2437。五:根据求根公式构造方程例5设实数a、b、c满足a>0,b>0,2c>ab,且c2>ab,
证明:cc2abacc2ab。分析造方程。证明设x1cc2ab,x2cc2ab。显然x1<x2,由x1、x2的结由c±c2ab,联想到一元二次方程的求根公式,抓住这个特点构
构特点可知,x1、x2是关于x的一元二次方程:x22cxab0的两根。∴(x1a)x2a)x1x2(x1x2)aa2ab2caa2(
a(ba2c)
∵a>0,
2c>ab。
∴a(ba2c)<0。∴x1<a<x2。即
cc2abpapcc2ab。
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f作者简介:刘定邦,江西省井冈山市龙江中学数学老师,生于1963年,江西省优秀教师,学科带头人,吉安市有贡献的高级专家,井冈名师,享受政府津贴,发表论文80余篇,专著2部,善于奥数辅导工作,近几的来r
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