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ξ1,ξ2是其导出组Ax0的一个基础解系
试证明
(1)η1η0ξ1,η2η0ξ2均是Axb的解;(2)η0,η1,η2线性无关。
答案:
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)
1D2B3B4D5C6D7C8A9A10B11A12B13D14C二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)
15616
3

1
33
77
174
1810
19η1cη2η1(或η2cη2η1),c为任意常数
20
r
215
222
231
24
z12

z
22

z
23

z
24
三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)
1202286
25解(1)ABT

3
4
0

3
4


18
10
12110310
120(2)4A43A64A,而A3402所以4A64(2)128
121
26解
31125111
511511
513411131
62

1111620
301040
20110010
55
550550
15335530
27解ABA2B即(A2E)BA,而
3
f2231143
(A2E)1

1
10


1
53
121164
143423386
所以
BA2E1A

1
531
1
0


2
96
1641232129
28解一
2130
0532
1035
1035
10
32
02
14


10
31
01
12


00
10
18



28


00
10
11
21








3419
013112
001414
0000
1002



000
100
010
110

所以α42α1α2α3,组合系数为(2,1,1)
解二
考虑α4x1α1x2α2x3α3,即
2x1x23x30x13x212x22x34
3x14x2x39
方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1)
29解对矩阵A施行初等行变换
12102
12102
12102
A

00
03
02
68
22

00
30
20
86
32

00
30
20
83
31
B






09632
000217
00000
30解
(1)秩(B)3,所以秩(A)秩(B)3(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是
B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)A的属于特征值λ1的2个线性无关的特征向量为ξ1(2,1,0)T,ξ2(2,0,1)T

2
经正交标准化,得η1
55

2
55,η24
55
1515
λ8

的一个特征向量为ξ3

12



0


5
3

2
13
经单位化得η3

2

3

所求正交矩阵为
23

2
55
T55

0
215154515
53
1

3

23
23
对角矩阵
10D01
00


(也可取
T

2
550
2151553
1
3

23)
008

55
451523
4
f31解fx1,x2,x3(x12x22x3)22x224x2x37x32(x12x22x3)22(x2x3)25x32
y1x12x22x3
设y2
x2x3,

y3
x3r
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