，F001．22
3→→3因此BD＝，－，0，BF＝0，－11．22设平面BDF的一个法向量为m＝x，y，z，→→则mBD＝0，mBF＝0，所以x＝3y＝3z，取z＝1，则m＝3，11．→由于CF＝001是平面BDC的一个法向量，→mCF15→则cos〈m，CF〉＝＝＝，→55mCF所以二面角F－BD－C的余弦值为55
10．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC1＝2AB1求证：AC1∥平面CDB1；2求点B到平面B1CD的距离；3求二面角A－CD－B1的正切值．1证明连接BC1交B1C于点O，连接DO
则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线，
5
f所以DO∥AC1因为DO平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1∥平面CDB12解因为CC1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1为三棱锥B1－CBD的高，11323所以VB1－CBD＝S△BCDBB1＝××4＝3323又可求CD＝3，B1D＝17，且易知CD⊥平面ABB1A1，所以CD⊥DB11故VB－B1CD＝S3
B1CDh＝
VB1－CBD，
1123417即××3×17h＝，解得h＝32317即点B到平面B1CD的距离为41717
→→3解以DC，DA，过点D且垂直于平面ABC向上的向量分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则点D000，C3，00，B10，－14，→→所以DC＝3，00，DB1＝0，－14．设平面CDB1的一个法向量为
1＝x，y，z，→
1DC＝0，由→
1DB1＝0，
3x＝0，得－y＋4z＝0
令z＝1，得
1＝041．又易知平面ACD的一个法向量为
2＝001．设二面角A－CD－B1的平面角为θ，观察图形，可得cosθ＝－

1
2＝－
1
2
，4，17×1
，0，
＝－
1717
6
f4172所以si
θ＝1－cosθ＝17si
θ故ta
θ＝＝－4cosθ即二面角A－CD－B1的正切值为－4
7
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