的总费用
Pxk：输油管汇集点P的坐标
A0y1：炼油厂A的坐标Bx2y2：炼油厂B的坐标
y0：问题二和三中输油管分界点F的纵坐标
e：拆迁和工程补偿等附加费用
：共用管道的费用
1：非共用管道的费用（注：
1
）
s：总铺设管线的长度
五、模型的建立与求解
问题一的模型及求解：问题一要求我们针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出最优设计方案。由于共用管道和非共用管道的费用有相同和不同两种情况，因此分共用管道和非共用管道的费用相同和共用管道和非共用管道的费用不相同两种情况来讨论。模型一：共用管道和非共用管道的费用相同假设A厂在B厂的左边，，以铁路线为x轴，以过A点并且垂直于x轴的直
B两厂的位置即坐标为：A0y1，线为y轴，建立如图11所示的坐标系，设A、
4
fxk，不妨设：设P点为共用管和非共用管道交汇点坐标为：Bx2y2，y1y2，
P到x轴的距离为k。PA、PB为非共用管道距离，PC为共用管道距离，
PAPBPC为共用和非共用管道总距离。
y
Bx2y2A0y1
Pxk
l1yk
O
C
B1
x
图11：A、B点在坐标轴中位置图过P点作y轴的垂线记为直线l1yk，P点在直线l1yk上移动。直线l1位置有如下三种情况：（1）ky1时，即直线l1在A厂上方。此时管道总长度PAPBPC取得的不是最小值。所以此种情况舍去。（2）0ky1时，PAPBPC可以取得最小值，但是此种情况需要共用管道。（3）k0时，直线l1与x轴重合，即P点与C点重合，有PAPBPC
ACBC可以取得最小值，此种情况不需要共用管道。
下面沿用参考文献【1】的方法证明（2）、（3）两种情况。可以求出两炼油厂的位置到铁路的距离之间的关系，进而确定P点的位置。在坐标轴上取A厂关于直线l1的对称点A1，连接A1B，A1P。如图12：
5
fy
Bx2y2A0y1
l1yk
Pxk
A102ky1
O
C
B1y20
x
图12：最短路径示意图为了便于计算，我们先把k值看成是定值。A1的坐标为02y1k。记sPAPBPC，根据三角形两边之和大于第三边易证：
sPAPBPCPA1PBPCA1BPC
2x22ky1y22k
22ky1y22k令fkx2
0ky1。对fk求导得：
fk
22ky1y2
2x22ky1y22
1
令fk0，解得：
ky1y23x2yy23x2，k1（由0ky1，此值舍去）r