。2626y1y23x2y126
由0ky1得：0
化简得：3y2y1x23y1y2（1）当0x23y2y1时，经计算得出f’k0，那么fk在区间
0y1上单调减。当ky1时，fkmi
fy1y1x2y1y22。此种情
况下得到P点的坐标为0y1。即P点与A点重合时，s值最小，此种情况有共
2y1y22。用管道，最省费用为：Zmi
smi
y1x2
2
6
f（2）当3y2y1x23y1y2时，经计算得出函数fk在区间
0y1y23x2yy23x2a上单调增。所以上单调减函数。在区间12626fkmi
fy1y23x2yy23x21262
当k
y1y23x23x2时，A1的坐标为0y2。32633xy2x2，33y1y23x2，263y1y2x2yy23x2，k1。226
那么直线A1B的方程为：y
直线l1yk的方程为：y
联立上述两个方程解得：x
所以当点P的坐标为
3y1y2x2y1y23x2时，s值最小。计算22633，PB的斜率为，所以有33
得出PA的斜率为
APBAPCBPC1200，那么P点是费马点即此种情况有共用管道使用。
此时最省费用为：Zmi
smi

y1y23x2。2
（3）当x23y1y2时，经计算得出f‘k0，即fk在区间0y1上单调增。所以当k0时fk最小，fkmi
f0x2y1y22。此时
P点在铁路线上，即在x轴上，为直线A1B与x轴交点P
2
y1x20，s值最小。y1y2
2y1y22。此种情况没有共用管道，最省费用为：Zmi
smi
x2
模型二：共用管道和非共用管道的费用不相同由假设2：输送A、B两厂成品油的非共用管道的铺设费用相同设非共用管道的费用每千米为
万元，设共用管道的费用每千米为
1万元。那么
和
1有如
7
f下关系：

11，2
12
证明（2）：假如2
1，说明单个共用管道比两个非共用管道费用还多，这种情况下，使用共用管道比使用非共用管道的费用还高，不符合题目的最省的要求。所以2
1不成立。因此2
1成立。根据三角形三边性质，以
，
，

1为三边定能构成三角形。
那么铺设输油管道的总费用为：Z
PA
PB
1PC。为求P点位置，使总费用最小。如下图13过P点做y轴垂线为直线l1，过P点做x轴垂线为直线PC且
PC与PA，PB的夹角分别为：1，2。
y
Bx2y2
A0y1


1
2

r