si
xdx
………………………6分
6．求不定积分解：原式

x3dxx2x3
2
x3dxx1x3
………………………1分………………………3分………………………6分
131dx2x3x131l
x3l
x1C22
7．已知y12xsi
x，求dy。解：法一：
dyesi
xl
12xdx
e
si
xl
12x
………………………2分
2dx12x
cosxl
12xsi
x
………………………6分
法二：利用对数求导法。两边取对数，得
《高等数学》答案第3页共7页
fl
ysi
xl
12x
两边分别求导，得
………………………2分
1dy2si
xcosxl
12xydx12x
所以dyycosxl
12x
………………………4分
2si
xdx12x2si
xsi
xdx………………………6分12xcosxl
12x12xdy2xy4x的通解。8．求微分方程dx
解：法一：直接代入公式求解，其中px2xqx4x
2xdx2xdxye4xeC
…………1分
………………………4分………………………6分
2Cex
2
法二：利用分离变量先求
2dy2xy0的解，即yCexdx2
…………………2分
利用常数变易法，设yCxex为原方程的特解，则………………………3分
yCxex2xexCx，将yy代入原方程，得Cx2exC
所以原方程的通解为yex2exC2Ce
222
2
2
………………………5分
x2
………………………6分
四、证明题（任选一题，若两题全做，按前一题为准）（共9分）
1、证明当ab0时，不等式
abaabl
成立。abb
证明：设yl
xxba且ab0
则函数在ba上连续，ba上可导，满足拉格朗日中值定理，有
……………2分
fafbfabba
即l
al
bl

………………5分………………6分
a1abb
又0baab0
111ababab，abab
《高等数学》答案第4页共7页
f
abaabl
成立。abb
………………9分
2．对于任何的实数，证明不等式ex1x成立。
xx证明：令fxe1x则fxe1，且f00
………………2分
fxf00，即
x当x0时，fxe10，所以fx为单调增函数，xfxe1x0，故ex1x；
………………5分
x当x0时，fxer