2x
dx
。
解
被积函数是分式，通常将其化为几个分式之和，再分项积分。
f
12x
2
22
x1x
dx
＝
x
4

x
2
1x
2
x1x


2
2

dx

1

1x
2

11dxarcta
xC2x＝x。
例6求1x
解
42
2
dx
。
被积函数是一个有理假分式，先将其变形为
xx
4
11
2
1x
1x

x
2
1x

2
11
2

1x
＝
x
2
1
11x
2
然后再积分，得
1

x
42
dx
x
3
x
2
1
11x
2
dx
x
xarcta
xC
3
。
注意将有理假分式作代数的变形时，通常采用在分子上“加1减1”的方法。
例7
cos求
2
x2
dx
。
2
解
先利用三角恒等式
2
cos
x212

12
1
cosx
将被积函数变形后再分项积分，于是有
cos
x2
dx
＝
1cosx21
2
dx
dxcos
xdx

1
＝2
xsi
xC
。
例8解
求cos
xsi

2
dxx
。
2
2先利用三角恒等式1＝si
xcos
x将被积函数变形为
1si
2
xcos
2
x
si
si

22
xcosxcos
22
xx

1cos
2
xsi

1
2
x，
然后再进行分项积分，于是有
cos
1
2
xsi

2
dxx
＝cos
1
2
dxx
si

1
2
dxx
＝ta
xcotxC。
f第二节
不定积分的积分法
在上节中，利用直接积分法计算了一些简单的不定积分。但是，利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的。例如，不定积分
cos
2xdx
e
3x
dx
，
a
2
xdx
2
，
xe
2x
dx
，
l
xdx
等就无法计算。因此，我们有必要进一步研究不定积分的积分法。
一、第一类换元积分法（凑微分法）
先看下面的例子：例1求解
e
3x
dx
。
edxe
xx
在基本积分公式中只有
C
为了求出这个积分，我们把它改写成
3x
e
1
3x
dx
＝3
e
d3x
。
令3xu把u看作新的积分变量，便可应用基本积分公式（4）。于是有
e
再把u换成3x，得到
3x
dx
e＝3
1
u
du
13
e
u
C

e
1
3x
dx
＝3
1
3x
e
3x
C
。
对所得到的结果进行求导，容易验证3法来检验积分所得的结果是否正确。注
e
确实是e
3x
的一个原函数。我们常用这种方
e
1
3x
dx
e
3x
C，这是因为de

3x
e
3x
d3x，而不是e3xdx。所以，必须先把
dx变成3
d3x
，然后把3x看成中间变量，才能利用基本积分公式。
例1所用的方法就是所谓的第一类换元积分法。一般的有：
设函数fu具有原函数Fu，ux可导，Fx是fxx的原函数，且则
即
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