一个常数。
二、不定积分的基本公式
由于求不定积分是求导数的逆运算，因此由基本导数公式可以得到相应的基本积分公式。下面我们把一些基本的积分公式列示出来，称为基本积分公式。
（1）

xdx
a
x
a1
a1
C
a
1；
f（2）x

1
dx

xC
；
（3）（4）（5）（6）
a
adx
xx
x
C
l
a
x
；
edxe
C
；；；
cosxdxsi
xC
si
xdxcosxC
（7）
secxdx
2
cossi

1
2
dxta
xCx
；
csc（8）
（9）
2
xdx
1
2
dxcotxCx
；
secxta
xdxsecxC
；；
（10）
cscxcotxdxcscxC
（11）1
1x
2
dxarcta
xC
；
（12）

11x
2
dxarcsi
xC
。
基本积分公式是求不定积分的基础，必须牢记。例1求下列不定积分：
（1）

1x
dx
；
（2）
x
2
xdx
。
解（1）先把被积函数写成分数指数的形式，再利用基本积分公式（1），得
x
1
21

1x
dx
＝
x

12
dx
＝

12
C1
＝2xC
（2）用与（1）相同的方法，得
5
x2
1
x
2
xdx
＝
5
5
C
xdx
2
＝2
1
2
7
＝7
x
2
C

f例2
求
3edx
x
x
。
x
xx解由于3e3e，利用基本积分公式（3），得
3
x
edx
x
＝
3e
x
dx
xx3ex3eC＝l
3e＝1l
3
C

三、不定积分的性质
性质1被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即
kfxdx
性质2
＝
kfxdx
（k为常数）。
两个函数代数和的不定积分等于各不定积分的代数和，即
fxf
xf2xf
xdx
gxdx
＝
fxdx
gxdx
。
性质2对于有限个函数的代数和的情形也是成立的，即
1
＝
f1xdx

f2xdx

f
xdx
。
利用基本积分公式和不定积分的性质进行积分的方法称为直接积分法。用直接积分法可以求出一些简单函数的不定积分。
例3求
x
2
1
2
x
3si
xdx。
解
x
1
x
13si
xdxxdx＝
2
x
dx3si
xdx
2
x
＝
l
x
＋l
2
3cosxC
。
注意分项积分后的多个积分常数可以合并成一个几分常数。
例4
求
3
3x2x
3
2

x
dx
x
。
解先将被积函数变形，化为代数和的形式，然后再分项积分。

3x2xx
2

x
dx
＝
3x

2
2x
1dxx
＝3
x
2
dx2xdx
22

1x
dx
＝xx2xC。
32
例5求x1x
2
1r