第四章
一元函数的积分学
微分学的基本问题是已知一个函数，求它的导数或微分。但是，在自然科学和工程技术领域中往往还会遇到与此相反的问题，即已知一个函数的导数和微分，由此产生了积分学。积分学包括不定积分和定积分两部分。本章将研究不定积分和定积分的概念、性质以及基本积分方法。
第一节原函数和不定积分
一、不定积分的概念
2引例设曲线在任意点xy处的切线斜率为3x，且曲线过点（1，，2）求此曲线方程。
解
2设所求曲线方程为yFx，由导数的几何意义可知，k3x，即
Fx3x
32
2
，
x1
3y由于xC3x，所以有Fx＝xC，又因为
2
，得C1，于是所
求的曲线方程为
yx1。
3
这就是已知一个函数的导数fx，反过来求fx原来的函数（可称为原函数）。即设fx是定义在区间ab内的已知函数。如果存在可导函数Fx，使得对于ab内任一点x，有
Fxfx

或
dFxfxdx
那么称Fx为fx在ab内的一个原函数。例如，因为x3xx13xxC3x（C为任意常数）所以，
323232
xx1xC都是3x2的原函数。
333
f又如，因为si
xcosxsi
x3cosxsi
xCcosx（C为任意常数），

所以si
x，si
x3，si
xC都是cosx的原函数。从这些例子可以看出，如果fx有一个原函数，那么任何与Fx相差一个常数的函数。Fx＋C都是fx的原函数，而且Fx＋C（C为任意常数）为fx全部的原函数。如果函数Fx为函数fx的一个原函数，那么fx的全部原函数Fx＋C称为函
fxdx数fx的不定积分，记为，即

fxdxFxC
。
其中，”称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，x称为积“分变量，C称为积分常数。求一个函数fx的不定积分，就是求fx的全部原函数。具体地说，只要先求出fx的一个原函数，再加上积分常数C即可。例如
4x
3
dxx
4
C
；。
cosxdxsi
xC
求不定积分的方法称为积分法。由不定积分定义可以看出，积分法和微分法互为逆运算，它们有如下的关系：
fxdx（1）
（2）

fx
或或
d
fxdx
fxdx
；
FxdxFxC
dFx
FxC
。
由此可见，对一个函数先积分再微分，结果是两者互相抵消；若先微分再积分，则结果只差r