费马点及其在中考中的应用
一、费马点的由来
费马PierredeFermat，16011665是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使PAPBPC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．
二、探索费马点
1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A
C′AC，
f作∠C′AP′∠CAP，并且使得AP′AP．即把△APC以A为中心做旋转变
换．则△APC≌△AP′C′，∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°．∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P
P′，∴PAPBPC≥PP′PBP′C′BC′
ABAC．所以A是费马点．
2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点．
如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′BP′．因为旋转60°，且PBP′B，所以△P′PB为正三角形．因此，PAPBPCP′A′P′PPC．
由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PAPBPCP′A′P′PPC为最小．
f当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P60°，∴∠A′P′B∠APB120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′60°，∴∠BPC120°．
所以点P为满足∠APB∠BPC∠CPA120°的点．
费马点相关问题
等腰直角三角形已知在直角平分线上的一点PPAPBPC最小值为√6√2，求直角边的长度？
解答：如图将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD60度，三角形PCD是正三角形，PCPD且DEPA，所以PAPBPCDEPDPB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DEPDPB最小，这时角BPC120度，角APCEDC120。下证这时的点P就在角ACB的平分线上。在三角形DCE和PCB中，因CECACB得角E角PBC，又有角EDCBPC120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECDACPBCP，点P在角ACB的平分线上。所以点P是这样一个点：它使角APCBPCAPB120度（这个点叫三角形的费马点）。延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PAPB，得角FPA60度，设PFx，则PAPB2x，AFCF√3x，PC√31x，有2x2x√31x√6√2，x13√6。所以AFCF√2，AC√2CF√2√22。
向左转向右转
f求角Cr