习题33
1Proof若1成立则ε0及x0x0δδεx0使当y0yxx0y0≤δ
dyfxydxyx0y0yxx0y0
时初值问题
的解yyxx0y0满足对一切x≥x0有yxx0y0ε由解关于初值的对称性31的两个解yyxx0y0及yyxx0y0都过点
x0y0由解的存在唯一性yxx0y0yxx0y0当x≥x0时
故yxx0y0εx≥x0若2成立取定x0x0则ε0δ1δεx0δε使当
yxx0y0≤δ1
时对一切x≥x0有
yxx0y0εdyfxy因初值问题dxyx00
的解为y0由解对初值的连续依赖性对以上ε0δδεx0x0δεx0使当
y0≤δ时
对一切x∈x0x0有
yxx0y0mi
εδ1ε
而当x≥x0时因
fyxx0y0≤mi
εδ1δ1故yxx0y0ε这样证明了对一切x≥x0有yxx0y0ε2Proof因fxy及f都在G内连续从而fxy在G内关于y满足局部y
Lipschitz条件因此解yxx0y0在它的存在范围内关于xx0y0是连续的设由初值x0y0和x0y0y0y0≤αα足够小所确定的方程解分别为
yxx0y0≡yψxx0y0y0≡ψ
即≡y0∫fxdxψ≡y0y0∫fxψdx
x0x0
x
x
于是
ψ≡y0∫fxfxψdx
x0
x
y0∫
x
x0
fxθψψdx0θ1y
因
f及ψ连续因此yfxθψyfxr1y
这里r1具有性质当y0→0时r1→0且当y00时r10因此对y0≠0有
ψ
y0
≡1∫
x0
x
fxψr1dxyy0
即z
ψ
y0fxdzr1zydyzx1z00
是初值问题
f的解在这里y0≠0看成参数0显然当y00时上述初值问题仍然有解根据解对初值和参数的连续性定理知在
y0→0
ψ
y0
是xx0z0y0的连续函数从而存
lim
ψ
y0

y0
而
f是初值问题y0
dzfxzydxzx10的解不难求解
fexpy0fxdxy
∫
x
x0
它显然是xx0y0的连续函数3解这里fxypxyψx满足解对初值的可微性定理条件故
fx0y0expx0fxdxy
xx0
∫
x
x0
px0y0Qx0exp∫pxdx
xfxxexp∫dxexp∫pxdxx0x0y0y
fxxx0y0pxxx0y0QxxdypxyQx满足yx0y0的解为dxye
∫x0pxdx
x
∫Qxe
x0
x

∫x0pxdx
x
dxy0
故
xexp∫pxdxx0y0
fxxxpx0exp∫pxdx∫Qxexp∫pxdxdxy0x0x0x0x0
exp∫pxdxr