习题34一解下列方程并求奇解如果存在的话1y2xdyx2dydxdx解令
4
dyp则y2xpx2p4dx
两边对x求导得p2p2x
3
dpdp2xp44x2p3dxdx

12xp2xdpp0dx

从12xp30得从2x
p≠0时x
13y232p4p

dpc2cc2p0得x2ydxppp≠0
为参数c≠0为任意常数
1x32p经检验得y34p3
是方程奇解
2xydydx解令
2
dyp则yxp2dxp12pdpdx
两边对x求导得
dpp1dx2p
解之得
x2pl
p1c
2
所以y2pp2l
p12c且yx1也是方程的解但不是奇解
fdydy3yx1dxdx
2
解这是克莱洛方程因此它的通解为
ycx1c2从c0x1c2
ycx1c2

中消去c
得到奇解y4dy
dx
2
1x2
x
dyy0dxycxc2
解这是克莱洛方程因此它的通解为
ycxc2从x2c0
中消去c
2得到奇解4yx0
5dy
dx
2
2x
dyy0dx
解令
dyp则y2xpp2dxp2p2xdpdp2pdxdx
两边对x求导得
dx2x2dpp
解之得所以
x
2pcp23
1yp2cp13
可知此方程没有奇解6xdyydy10dxdx解原方程可化为yx
dy1dxdy2dx
32

f这是克莱罗方程因此其通解为ycx
1ycx2从cx2c30
1c2

0
中消去c得奇解27x24y3
2
7yx1dydydxdx解令
dyp则yx1pp2dxxcep2p2
两边对x求导得所以
ycp1epp22
可知此方程没有奇解8xdyxa20dx解dy
dx
22

xa2
x
dyxa±dxxady±xdxx
123y±x22ax23
9yc4xx3a
2
2
可知此方程没有奇解9y2xdy1dydx3dx解令
3
dy1p则y2xpp3dx3dpdp两边对x求导得p2p2dxdx
fdpp2dx1p2
解之得所以且
x
p22
2
3l
p2c
1yp3p23p46l
p2c32y2x也是方程的解但不是方程的奇解3
2
10dy
dx
x1
dyy0dx
2
解yxdydydydxdxdx
这是克莱罗方程因此方程的通解为ycxcc2从
ycxcc2x12c
中消去c
得方程的奇解x124y0二求下列曲线族的包络1ycxc2解对c求导得x2c0
cx2
x2x2x2代入原方程得y244

经检验得y2c2ycx210解对c求导得代入原方程得
x24
是原方程的包络
x22ycx0c2y
2

x4x4y10即x44y022y4y
经检验得x44y0是原方程的包络
f3xc2yc2
4
解对c求导得2xc2yc0代入原方程得xy2经检r