初中数学竞赛：勾股定理
内容提要
1、勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2c2
2、勾股定理及逆定理的应用
①作已知线段a的2，3，5……倍
②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。3、勾股数的定义：如果三个正整数abc满足等式a2＋b2c2，那么这三个正整数abc叫做一组勾股数4、勾股数的推算公式④罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789——1853）任取两个正整数m和
m
那么m2
2，2m
m2
2是一组勾股数。
⑤如果k是大于1的奇数，那么kk21k21是一组勾股数。
2
2
⑥
如果k是大于2的偶数，那么k

K
2

1
K
2

1是一组勾股数。
22
⑦如果abc是勾股数，那么
a
b
c
是正整数也是勾股数。
5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；
5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。
【例题】例1已知线段a
求作线段5a
分析一：5a＝5a2＝4a2a2
∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：
5a＝
2
9a
4a2
f∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）
例2四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长
E
解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30
∴CE＝2CD＝4，
在Rt△ABE中
设AB为x则AE＝2x
根据勾股定理x2522x2x2253
在Rt△ABC中，AC＝x212＝251＝221
3
3
D2
C1
A
B
例3已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC证明：作∠B的平分线交AC于D，则∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A＝∠C∴AD＝BD＝BC作BM⊥AC于M，则CM＝DMAB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）＝AC×AD＝AB×BC
A
D
M
B
C
例4如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD求证：AB＝AC证明：设AB，AC，BD，CD分别为bcm

f则c
bmcbm
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得AD2＝c2m2b2
2∴c2b2m2
2cbcbm
m
cbcbm
cbcbcb－m
cb＝0cb｛cb－m
｝＝0∵cbm
∴cb0即cb∴AB＝AC
A
c
b
B　mD

C
例5已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF作DH⊥AB于H，根据勾股定理
Dj
C
AH＝AD2DH2，FH＝DF2DH2
∵AD＞BC，AD＞DF
E
A
HF
B
∴AH＞FH，EH＞BH
DE＝DH2EH2，BD＝DHBH2
∴DE＞BD即AC＞BD
例6已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b且SEFGH
＝2
AE
D
3
求：bar