理由．
【解答】解：存在一条双曲线，对任意的正整数
≥2，点Pi（i＝1，2，…，
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f1）都在这条双曲线上．如图所示，A（1，0），B（1，0），设BC＝b，P（x，y），则x＞1，y＞0，∠APB＝∠PBC∠PAC，，
所以
＝
．
当i＝1，2，3，…，
1一定时，所以当且仅当≥2
为常数，此时ta
∠APB取得最大值，
时等号成立，
故x2y2＝1，x＞1，y＞0，Pi在一条双曲线上．31．（12分）定义符号函数sg
（x）＝asg
（x1）b．（1）求f（2）f（1）关于a的表达式，并求f（2）f（1）的最小值．（2）当b＝时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈1，2恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵函数sg
（x）＝∴f（2）＝22ab，f（1）＝1ab，∴f（2）f（1）＝22a1a＝，，f（x）＝xxasg
（x1）b．，已知a，b∈R，f（x）＝xx
由f（2）f（1）在（∞，2上为减函数，在（2，∞）上为增函数，故当a＝2时，f（2）f（1）的最小值为1；
（2）当b＝时，函数f（x）＝xxa＝
，
当x∈（0，1）时，f（x）＝
，
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f由f（x）＝0得：
，即，
，
令g（x）＝xa，h（x）＝
在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，如下图所示：
由图可得：当a∈（∞，）∪个交点，
∪，∞）时，两个函数图象有且只有一
即函数f（x）在（0，1）上有唯一零点；（3）x∈1，2时，f（x）＝xxab，由f（x）＜0得：xa＜∴b＜0，且＜xa＜即x＜a＜，对任意的x∈1，2恒成立，
x对任意的x∈1，2恒成立，
∵y＝x在1，2上单调递增，故当x＝2时，y＝x取最大值2，
y＝
x，x∈1，2的最小值为：
，
①
，解得：b∈（1，）；
②
，解得：b∈4，1；
③
解得：b∈（∞，4），
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f综上可得：b∈（∞，）．
32．（12分）已知两个无穷数列a
，b
分别满足其中
∈N，设数列a
，b
的前
项和分别为S
、T
．
，
，
（1）若数列a
，b
都为递增数列，求数列a
，b
的通项公式．（2）若数列c
满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck1，称数列c
为“k坠点数列”．①若数列a
为“5坠点数列”，求S
．②若数列a
为“p坠点数列”，数列b
为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm1＝Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵数列a
，b
都为递增数列，∴由递r