第七章
解三角形
一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，abc分别表示它们所对的各边长，p
abc为半周长。2abc1．正弦定理：2R（R为△ABC外接圆半径）。si
Asi
Bsi
C111推论1：△ABC的面积为S△ABCabsi
Cbcsi
Acasi
B222
推论2：在△ABC中，有bcosCccosBa推论3：在△ABC中，AB，解a满足
ab，则aAsi
asi
a
1absi
C；再证推论2，因为BCA，所2
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsi
C，所以S△ABC
以si
BCsi
A，即si
BcosCcosBsi
Csi
A，两边同乘以2R得bcosCccosBa；再证推
absi
asi
a，所以，si
asi
Asi
asi
A，即si
Asi
Bsi
Asi
A11等价于cosAacosAacosaAcosaA，等价于22cosAacosaA，因为0Aa，aA所以只有AaaA，所以aA，
论3，由正弦定理得证。2．余弦定理：abc2bccosAcosA
222
b2c2a2，下面用余弦定理证明几个常2bc
用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BDp，DCq，则AD
2
b2pc2qpqpq
22
（1）
22
【证明】因为cABADBD2ADBDcosADB，222所以cADp2ADpcosADB①222同理bADq2ADqcosADC，②因为ADBADC，所以cosADBcosADC0，所以q×①p×②得qcpbpqADpqpq，即AD
2222
b2pc2qpqpq
2b22c2a2注：在（1）式中，若pq，则为中线长公式AD2122212222（2）海伦公式：因为SABCbcsi
Abc1cosA442222bca122221bcaabcppapbpc164b2c2
这里p
122bc4
abc2
用心爱心专心1
f所以S△ABC
ppapbpc
二、方法与例题1．面积法。例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQQOR，另外OP，OQ，OR的长分别为uwv，这里α，β，αβ∈0，则P，Q，R的共线的充要条件是
si
si
si
uvw【证明】P，Q，R共线SΔPQR0SOPRSOPQSORQ111uvsi
αβuwsi
αvwsi
β222si
si
si
，得证。wuv
2．正弦定理的应用。例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPCBACCPACBAAPBACB。求证：APBCBPCAr